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PROBLEME I) Un Magasin propose un nouveau produit saisonnier en vedette

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PROBLEME I) Un Magasin propose un nouveau produit saisonnier en vedette. Soit N la variable aléa-toire qui désigne le nombre de clicnts qui sc préscntent au magasin durant la saison, ou N ~ Poi(A). On estime que la probabilité qu’un client achéte ce nouveau produit est de B et ce indépendamment d’un client a l'autre.

a) On suppose ici que le magasin dispose d’un stock illimité de ce produit. Soient les variables aléatoires X et Y telles que X = le nombre de clients qui achétent le produit; Y = le nombre de clients qui n’achétent pas le produit. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Justifier.

b) Le magasin a un profit de C$ pour chaque unité vendue. Chaque unité non vendue devrait étre stockée pour année prochaine au coiit de D $.

Déterminer la valeur du nombre d’unités stockées nr. que le magasin devrait avoir pour maximiser son profit moyen.

PROBLEME II) Ce probléme cst unc étude de cas qui consiste cn une analyse de données tirées du magazine Motor Trend de 1975. Elles avaient été recueillies au terme d’une étude portant sur lefficacité énergétique de divers modéles et marques de véhicules, particuligrement leur consommation d’ essence.

Les données. Les données a analyser sont constituées d’un échantillon de 160 observations sur cing variables mesurant un certains nombre de caractéristiques des véhicules de étude. Ie Tableau | ci-dessous présente les différentes variables de l'étude (numéro de colonne dans le fichier, symbole, nom, et description). Les symboles et les numéros de colonnes sont tels qu’ils apparaissent dans votre ensemble de données personnalisées.

Col. n°	Symbole (Nom dans le fichier)	Description
1	Y (mpg)	La consommation du véhicule (en milles par gallon)
2	X1 (horsepower)	La puissance du moteur du véhicule (en livres par pied)
3	X2 (weight)	Le poids du véhicule (en livres)
4	X3 (origin)	Le code du pays d’origine du véhiculc (1 : Etats-Unis et 0 : Autres pays)

 

                     Tableau 1 : Les variables de I’ analyse.

Le but visé est d’ analyser ces données afin de déterminer les liens possibles entre différentes variables, et de déterminer un modéle statistique permettant de décrire et de prédire la consommation d’un véhicule a partir de la caractéristique la plus pertinente.

Phase 1: Analyse statistique descriptive et inférence.

On demande de répondre aux questions suivantes en utilisant des techniques appropriées de statistique (statistique descrip- tive et inférence), illustrées par des diagrammes pertinents.

a) Pour la variable consommation (mpq), produisez les graphiques et les tableaux demandés et interprétez briévement le résultat dans chaque cas :

• un histogramme ct un diagramme de Tukcy (ou «Box Plot») ;
• unc droite de Henry (ou «Normal Probability Plot») ct un test de normalité (Shapiro- Wilk) ; un tableau de statistiques descriptives comprenant : moyenne, quartiles, écart type, intervalle de confiance pour la moyenne.

b) On veut vérifier si la consommation d’un véhicule est significativement différente selon le pays d’origine. Pour cela on peut considérer la variable consommation (mpq) divisée en deux groupes selon le code du pays d@origine (origin) et effectuer une comparaison des deux groupes en termes de moyenne, symétrie et variabilité. Pour ce faire, effectuez les analyses suivantes et donnez une bréve conclusion:

• deux histogrammes juxtaposés, ct deux diagrammes de Tukey (ou «Box Plot») juxtaposés ;
• un tableau des statistiques descriptives par groupe : moyenne, quartiles, écart type, intervalle de confiance pour la moyenne ;
• un test d*hypothése sur I’égalité des variances pour les deux groupes ;
• un test d’hypothése sur I’ égalité des moyennes pour les deux groupes.

Phase 2: Recherche du meilleur modéle.

On s’intéresse dans cette phase a la détermination d’un modéle permettant d’expliquer la consommation en fonction des différents facteurs considérés. Pour ce faire, on envisage des modéles de régression simple en considérant la consummation (mpg) comme variable dépendante Y.

c) On consideére les six modéles suivants :

Modéle 1: Y = b₀ + b₁X₁ + e;                Modéle 2: Y = b₀X₁^b1e^e;    Modéle 3: Y = b₀e^b1X1+e;

Modéle 4: Y = b₀ + b₁X₂ + e;          Modéle 5: Y = b₀X₂^b1e^e;        Modéle 6: Y = b₀e^b1X2+e,

ou b₀ et b₁ sont des paramétres et e une erreur aléatoire.

Remarque : Les coefficients b₀ ct b₁ ainsi que erreur e ne sont pas Iles mémes d’un modéle a I’ autre.

Pour chacun des six modéles ci-dessus :

• Effectucz Vajustement (ic. obtenir Ie tableau des coefficients de régression, Ic tableau d’ analyse de la variance).
• Tester la signification du modéle ct effectucz une analyse des résidus (normalité, homoscédasticité, points atypiqucs, ctc.)
• En conclusion : effectuez une comparaison et dire lequel des six modéles est préférable aux autres. Justifiez. votre choix en précisant les critéres utilisés.

 

d) Sur la base du meilleur modéle que vous avez obtenu cn c), calculez un intervalle de prévision pour la consommation (mpg) d’un véhicule ayant les caractéristiques suivantes : puissance (X₁ — 120), poids (X₃ — 2200). Commentez bri¢vement le résultat.